Lista de exercícios do ensino médio para impressão
pretty printer machine
Selecionar todas.
imprimir os exercícios selecionados
(MACKENZIE - 1982) Com relação ao desenvolvimento de $\;(x\,+\,a)^{2n}\;$, com $\; a,n \,\in\,\mathbb{N}\;$, podemos afirmar que:
a)
o desenvolvimento possui um número par de termos;
b)
a parte literal do termo de coeficiente binomial máximo é $\,x^{n-1} \centerdot a^{n-1}\,$
c)
o coeficiente binomial máximo é $\,\binom{2n}{n-2}\,$
d)
a parte literal do termo de coeficiente binomial máximo é $\,x^n \centerdot a^n\,$
e)
o coeficiente binomial máximo é $\,\binom{n}{n-1}\,$

 



resposta: alternativa D
×
(PUC) O maior coeficiente do desenvolvimento do binômio $\phantom{X}(x\,+\,y)^5 \phantom{X}$ é:
a)
4
b)
5
c)
10
d)
20
e)
8

 



resposta: alternativa C
×
(PUC) Se no desenvolvimento do binômio $\phantom{X}(a\,+\,x)^{\large n} \phantom{X}$, o coeficiente binomial do 4º termo é igual ao do 9º termo, então $\;n\;$ é igual a:
a)
8
b)
9
c)
10
d)
11
e)
12

 



resposta: alternativa D
×
(FGV) O valor de $\;\;a\;\;$ para o qual um dos termos do desenvolvimento de $\;\; (x + a)^5 \;\;$ é $\;\;270x^2\;\;$, pertence ao conjunto:
a)
$\lbrace\,\sqrt{5}\,;\,\sqrt[{\large 3}]{6}\,;\,2\rbrace$
b)
$\lbrace\,4\,;\,{\large\frac{1}{5}}\,;\,\sqrt[{\large 3}]{12}\rbrace$
c)
$\lbrace\,{\large\frac{1}{4}}\,;\,5\,;\,\sqrt{6}\rbrace$
d)
$\lbrace\,{\large\frac{1}{2}}\,;\,1\,;\,\sqrt{3}\rbrace$
e)
$\lbrace\,3\,;\,{\large\sqrt[{\large 3}]{9}}\,;\,{\large\frac{3}{2}}\rbrace$

 



resposta: alternativa E
×
Calcular o valor da expressão:
$\,\frac{10 \, \left[ {\large \binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3} } \right]\,+\,2\,\left[\,{\large \binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}} \right]}{\large \binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}}\,$

 



resposta:
triângulo de Pascal ou Tartaglia
Pela propriedade da soma na linha do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que:
$\,\binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3}\,=\,2^{\large{3}}\,=\,8$

Pela propriedade da soma na coluna do triângulo de Pascal, temos que:
$\,\binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}\,=\,\binom{5}{3}\,=\,10$

Pela propriedade da soma na diagonal do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que:
$\,\binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}\,=\,\binom{6}{3}\,=\,20$

Então:
$\,\frac{10 \, \left[\large {\binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3}} \right]\,+\,2\,\left[\,\large {\binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}} \right]\phantom{XX}}{ {\large \binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}}}\,=\,$ $\,\dfrac{10\centerdot 8 \,+\, 2\centerdot 10}{20}\,=\,\dfrac{100}{20}\,=\,5$

5
×
Empregando as propriedades do triângulo de Pascal, achar o valor das seguintes somas:
a)
$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{10}} {\Large \binom{10}{p}}\,$
b)
$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{9}} {\Large \binom{10}{p}}\,$
c)
$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,2}^{9}} {\Large \binom{9}{p}}\,$
d)
$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,4}^{10}} {\Large \binom{p}{4}}\,$
e)
$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,5}^{10}} {\Large \binom{p}{5}}\,$
f)
$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{7}} {\Large \binom{3\,+\,p}{p}}\,$
g)
$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{3}} {\Large \binom{8\,+\,p}{p}}\,$

 



resposta:
a)
1024
b)
1023
c)
502
d)
462
e)
462
f)
330
g)
220

×
Calcular o valor das expressões:
a)
$\phantom{X}\dbinom{12}{0}\,+\,\dbinom{12}{1}\,+\,\dbinom{12}{2}\,+\;...\;+\,\dbinom{12}{12}\,=\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}\dbinom{2}{2}\,+\,\dbinom{3}{2}\,+\,\dbinom{4}{2}\,+\,\dbinom{5}{2}\,+\,\dbinom{6}{2}\,+\,\dbinom{7}{2}\,=\,$
c)
$\phantom{X}\dbinom{2}{0}\,+\,\dbinom{3}{1}\,+\,\dbinom{4}{2}\,+\,\dbinom{5}{3}\,+\,\dbinom{6}{4}\,+\,\dbinom{7}{5}\,=\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}\dbinom{5}{0}\,+\,\dbinom{6}{1}\,+\,\dbinom{7}{2}\,+\,\dbinom{8}{3}\,=\phantom{X}$

 



resposta: a) $2^{12}$ = 4096 (linha) b) 56 (coluna) c) 56 (diagonal) d) 84 (diagonal)
×
O valor de $\phantom{X}\dbinom{7}{2}\,+\,\dbinom{7}{3}\,+\,\dbinom{7}{4}\,+\,\dbinom{7}{5}\,+\,\dbinom{7}{6}\,+\,\dbinom{7}{7}\phantom{X}$ é:
a)
128
b)
124
c)
120
d)
116
e)
112

 



resposta: (C)
Resolução:
é a soma da linha (n = 7) do triângulo de Pascal, faltando os termos $\,\binom{7}{0}\,$ e $\,\binom{7}{1}\,$
A soma da linha (n = 7) é igual a $\,2^7\,$.
Então:
$\,a\,=\,2^7\,-\,\dbinom{7}{0}\,-\,\dbinom{7}{1}\,$
$\,a\,=\,2^7\,-\,1\,-\,7\,$
$\,a\,=\,2^7\,-\,8\,$
$\,a\,=\,2^7\,-\,2^3\,$
$\,a\,=\,128\,-\,8\,=\,120$

×
Desenvolver as potências (utilizando as propriedades do triângulo de Pascal).
a)
$\phantom{X}(x\,+\,y)^0\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}(x\,+\,y)^1\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}(x\,+\,y)^2\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}(x\,+\,y)^3\phantom{X}$
e)
$\phantom{X}(x\,+\,y)^4\phantom{X}$
f)
$\phantom{X}(x\,+\,y)^5\phantom{X}$
g)
$\phantom{X}(x\,+\,y)^7\phantom{X}$
h)
$\phantom{X}(x\,-\,y)^5\phantom{X}$

 



resposta:
×
Do desenvolvimento de $\phantom{X}(x\,+\,y)^{\Large 20}\phantom{X}$, feito segundo os expoentes decrescentes de x, pede-se:
a)
O valor do termo geral.
b)
O valor do oitavo termo.
c)
A ordem e o valor do termo central.
d)
A ordem e o valor do termo de grau oito em relação a $\,x\,$.

 



resposta:
Resolução:$\phantom{X}T_{\large k+1}\;=\;\dbinom{n}{k}x^{n-k}y^{k}\phantom{X}$
a)$\phantom{X}T_{\large k+1}\;=\;\dbinom{20}{k}x^{20-k}y^{k}\;{\text com}\;0\leqslant k \leqslant 20\phantom{X}$
oitavo termo:$\phantom{X}T_{\large 7+1}\;=\;\dbinom{20}{7}x^{13}y^{7}\phantom{X}$
b)$\phantom{X}T_8\;=\;77520\,x^{13}\,y^{7}\phantom{X}$
ordem:$\phantom{X}k\,=\,\dfrac{n}{2}\,=\,10\phantom{X}$
c) o termo central é o décimo primeiro termo (11º termo)
$\phantom{X}T_{10+1}\;=\;\dbinom{20}{10}\,x^{10}\,y^{10}\;=\;184\,756\,x^{10}\,y^{10}\phantom{X}$
ordem:$\phantom{X}T_{\large k+1}\;=\;\dbinom{n}{k}x^{n-k}y^{k}\phantom{X}$
$\phantom{X}T_{13}\;=\;\dbinom{20}{12}x^{8}y^{12}\phantom{X}$
$\phantom{X}T_{13}\;=\;\dfrac{\;20!\,x^8\,y^{12}\;}{8!\,12!}\phantom{X}$
d)$\phantom{X}T_{13}\;=\;125970\,x^8\,y^{12}\phantom{X}$
×
Na expansão de: $\phantom{X}(2x^{\Large 2}\,-\,\dfrac{\;1\;}{2}\,y^{\Large 3})^{\Large 8}\phantom{X}$ o termo no qual aparece o elemento $\,x^{\Large 8}\,$ vale:
a)
$\,70x^8y^{12}\,$
b)
$\,60x^8y^{14}\,$
c)
$\,70x^8y^{14}\,$
d)
$\,60x^8y^{12}\,$
e)
nenhuma das alternativas anteriores
 
 

 



resposta: (A)
×
(VUNESP) O termo independente de $\,x\,$ no desenvolvimento de $\phantom{X}(x^{\Large 2}\;+\;\dfrac{\;1\;}{\;x\;})^{\Large 6}\phantom{X}$ é igual a:
a)
30
b)
15
c)
4
d)
0
e)
1

 



resposta: (B)
×
Calcular a soma dos coeficientes do termos no desenvolvimento de $\phantom{X}(3x\,+\,2y)^{\Large 4}\phantom{X}$

 



resposta: 625
×
Qual o termo médio do desenvolvimento de $\phantom{X}(2x\;+\;3y)^{\Large 8}\phantom{X}$?

 



resposta: 90720x4y4
×
Determine o 7º termo do binômio $\phantom{X}(2x\;+\;1)^{\Large 9}\phantom{X}$ quando desenvolvido segundo as potências decrescentes de $\,x\,$.

 



resposta: 672x3
×
Determine o termo independente de $\,x\,$ no desenvolvimento de $\phantom{X}(x\;+\;\dfrac{\;1\;}{x})^{\Large 6}\phantom{X}$

 



resposta: T4 = 20
×
Utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton, calcule o desenvolvimento da expressão $\phantom{X}(2x\;+\;1)^{\Large 4}\phantom{X}$.

 



resposta: $\,(2x\;+\;1)^{\Large 4}\,=$ $\,16x^4\,+\,32x^3\,+\,24x^2\,+\,8x\,+\,1\,$
×
O desenvolvimento da expressão $\phantom{X}(3x\;+\;13)^{\Large n}\phantom{X}$ fornece 13 termos. Qual é o valor da soma dos coeficientes desses termos?

 



resposta: 248
×
(UF VIÇOSA) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de $\phantom{X}(2x\;+\;3y)^{\Large m}\phantom{X}$ é 625 . O valor de $\,m\,$ é:
a)
5
b)
6
c)
10
d)
3
e)
4

 



resposta: (E)
×
Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio $\phantom{X}(3x\,-\,1)^{\Large 10}\phantom{X}$

 



resposta: 1024
×
O coeficiente de $\,x^4\,$ no polinômio $\phantom{X}P(x)\,=\,(x\,+\,2)^{\Large 6}\phantom{X}$ é:
a)
64
b)
60
c)
12
d)
4
e)
24

 



resposta: (B)
×
Veja exercÍcio sobre:
binômio de Newton
triângulo de Pascal
desenvolvimento de binômio